Криволинейное механическое движение

Криволинейное механическое движение (продолжение)
>
>

> Свойство 4. Изохронность траекторий Бернулли. Математические часы Гюйгенса.
> Вывод фомулы Планка.
>

>

>
> Теперь нам предстоит рассмотреть и доказать самое интересное и загадочное из свойств траекторий Бернулли - их изохронность.
> Чтобы доказать свойство изохронности циклоид, нам необходимо снова вернуться во времена Галилея и Гюйгенса, и еще раз внимательно рассмотреть
> решение задач колебаний "Математического маятника Галилея " и "Математических часов Гюйгенса".
>
>

> "Математичеcкий маятник" Галилея.
>
>

>
> Прежде всего нам необходимо вспомнить первоначальное определение движения математического маятника самого Галилео Галилея.

> Сам Галилей свою формулу для периода колебаний математического маятника получил из аналогии с движением по наклонной плоскости (см. рис.).

> Для вывода этой формулы Галилей воспользовался открытым и сформулированным им законом, согласно которому спуск по наклонной плоскости является
> равноускоренным движением, и квадрат скорости движения тела пропорционален высоте, с которой движется тело без начальной скорости.
> В современной физике этот закон движения Галилео Галилея получил название закона "сохранения механической энергии", и записывается этот
> закон в виде:
>
>

> m * V 2 / 2 + m * g * h = const
>
>

>

> Отсюда следует и известная формула Галилея для равноускоренного движения по наклонной плоскости, согласно которой
> пройденное расстояние за время t при равноускоренном движении по наклонной плоскости определяется выражением:
>

> S = V0 * t + g * t 2 / 2
>
>
>
>

>
> Начальную скорость движения мы будем считать равной нулю.
> Тогда
>

> S = g * t 2 / 2
>
>

> и квадрат времени спуска с наклонной плоскости в нижнюю точку О оказываетcя равным:

>
>

> T 2 = 2 * S / g
>
>

>
> Тогда, из подобия треугольников ОО1A1 и ОО2A2 сразу следует пропорциональность выражения:

>
>

> T 2 = const * L / g
>
>

> или
>

> T = const * ( L / g )½
>
>
>

> В результате мы получили формулу для периода колебаний математического маятника в том виде, в котором она
> присутствовала у Галилео Галилея.

>

> Разумеется, в этом выводе формулы для периода колебаний математического маятника нас интересует не
> сама формула периода, а лишь процедура ее получения.
> Как мы только что убедились, при выводе этой формулы Галилей не учитывал криволинейное (по окружности)
> движение маятника.
> Соответственно, не учитывал он и энергию вращательного движения.
> Теперь нам следует обратить внимание на тот факт, что и современный вывод
> формулы для периода колебаний математического маятника, тоже не учитывает энергию вращательного движения маятника.
> Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вывод формулы для периода колебаний математического маятника в современной физике.
>
>
Современный "Математичеcкий маятник".
>
>
> Вот, например, как выглядит изложение теории математического маятника в изложении преподавателей МГАПИ
> (см. Математический маятник.)
>

>


> Здесь, как мы с Вами убедились, нет даже намека на вращательную энергию тела.

> Вообще говоря, тот факт, что формула для периода колебаний математического маятника справедлива лишь для
> малых углов колебаний маятника, известен даже школьникам, и ничего удивительного и неизвестного в этом факте нет.
>
>
"Математические часы" Гюйгенса.
>
>
> Разумеется, в тех случаях, когда амплитуда колебаний математического маятника чрезвычайно мала, то вращательная энергия
> маятника незначительна, практически никак не влияет на его период колебаний, и ею можно пренебречь.
> Но как быть в том случае, когда колебания маятника имеют значительную амплитуду, а вращательная энергия вносит
> заметный вклад в результирующее движение?
> Впервые столкнулся с этой проблемой, и попытался решить ее знаменитый Христиан Гюйгенс (1629- 1695).
> Для решения этой проблемы Гюйгенс изобрел "математические часы", основным качеством которых была
> равнопериодичность и равномерность их движения.
>
> Что это за часы?
> Физико-математический смысл этих часов показан на анимации "Математические часы Гюйгенса".
> Часы Гюйгенса представляют собой физико-математическую философскую конструкцию (а не реальный физический прибор
> - как это многие думают!).
>
> Гюйгенс действительно изготовил несколько реальных экземпляров подобных часов.
> Первый экземпляр был изготовлен в 1661 году. Испытания этих часов начались в 1663 году и продолжались до 1687 года в различных
> морских плаваниях. Но уже в 1679 году сам Гюйгенс отказался от этой идеи, и пришел к выводу, что морские часы должны быть пружинными
> и с круговым балансиром. Впервые такие часы были изготовлены в 1735 году Дж. Харрисоном. Что же касается "математических часов"
> Гюйгенса, то они постепенно утратили свой первоначальный практический смысл, и по праву стали основой философских и физико-математических
> представлений о времени и движении.
> Какими замечательными качествами обладают "математические часы" Гюйгенса, и что придает им особую философскую значимость и обеспечивает
> их уникальный физико-математический смысл?
> Уникальной принадлежностью часов Гюйгенса является особое устройство маятника этих часов.
> Маятник представляет собой груз на тонкой невесомой нерастяжимой нити, которая в процессе своего движения наматывается на щеки Гюйгенса.
> Щеки Гюйгенса представляют собой полуциклоиды.
> В результате этого груз маятника (обозначен на анимации красными кружочками) движется по циклоиде, а колесо вращения этой циклоиды движется
> равномерно, без проскальзывания, и с постоянной угловой скоростью.
> Вычислим период колебаний математических часов Гюйгенса.
> Поскольку колесо циклоиды движется равномерно в процессе всего движения, то время движения по циклоиде в одну сторону можно
> вычислить по формуле:
>

> T = 2 * π * R / V центра колеса
>
>

>
> Скорость обода колеса можно определить в нижней точке траектории из закона сохранения механической энергии:

>
>

> m * V 2обода / 2 = 2 * m * g * R
> откуда Vобода = 2 *(g * R)½

>
>

> Следовательно, скорость центра колеса будет в 2 раза меньше, и будет равна

>
>

> Vцентра = (g * R)½

>
>

> Подставляя в формулу для времени движения по циклоиде, получим:
>
>

> T = 2 * π * R / (g * R) ½ = 2 * π * (R / g) ½
>
>
>

>

> Соответственно, период колебаний математического маятника Гюйгенса будет в два раза больше, и будет равен:

>

>
>

> T период колебаний часов Гюйгенса = 4 * π * (R / g) ½
>
>
>

>

> Из этой формулы легко получить формулу для периода колебаний математического маятника.
> В нижней точке колебаний длина нити равна L = 4 * R. Подставляя L вместо R в формулу для периода колебаний, получим:

>
>

> T математического маятника = 4 * π * (L / (4*g))½ =
> 2 * π * (L / g)½
>
>
>
>
Таутохронность циклоиды. Модель Гюйгенса.
>
>
> Теперь нам потребуется доказать еще одно уникальное свойство циклоиды - ее таутохронность.
> Свойство таутохронности означает независимость периода колебаний системы от ее амплитуды колебаний.
> Само по себе свойство таутохронности еще не обеспечивает изохронности времени (его равномерности), поскольку
> независимость периода колебаний системы от амплитуды колебаний не обеспечивает равномерность времени внутри периода.
> Но решение, которое получил Гюйгенс для циклоиды, как мы сейчас убедимся, обеспечивает и таутохронность времени,
> и его изохроность.
> Решение это показано на следующем рисунке.
>


> Задачу о таутохроне сам Гюйгенс сформулировал следующим образом.

> Пусть некоторое тело массы М движется без трения по циклоиде с некоторой высоты
> H < 2 * R, где R - радиус колеса,
> производящего циклоиду.
> Требуется найти время спуска тела массы М в нижнюю точку циклоиды.
>
>

> Решение задачи Гюйгенса.
>
>

>
> Полное решение задачи Гюйгенса показано на рисунке "Доказательство Гюйгенса таутохронности циклоиды".
> Это - доказательство самого Гюйгенса.
> Я, лишь нарисовал это доказательство, и постарался сделать его максимально доступным современному читателю.
> Доказательство Гюйгенса - чисто "метафизическое", поскольку в своем доказательстве он приравнивает линейную скорость
> криволинейного движения по циклоиде (в левой части рисунка) к скорости вращательного движения (в правой части).
> Последовательность действий в решении Гюйгенса следующая.
>
>

> Левая часть рисунка.
>
>
>

>
> 1. Линейную скорость V(t) касательного
> движения по циклоиде в произвольной точке А найдем из
> закона сохранения механической энергии Галилео Галилея. Эта скорость равна V(t) = (2 * g * (H - h(t)))1/2

> 2. Чтобы найти время спуска по циклоиде, найдем вертикальную составляющую
> V верт линейной скорости
> V(t) касательного движения по циклоиде в произвольной точке А траектории движения.

> Эта скорость будет равна:
>
>

> Vверт = ( (g / R) * (H - h(t)))1/2
>
>
>

>
>

> Переходим в правую часть рисунка.
>
> 3. Рассмотрим равномерное вращательное движение по окружности радиуса r = H/2.

> Скорость движения по этой окружности обозначим W.

> Тогда вертикальная составляющая этой скорости будет равна:
>

> Wверт = (2 * W / H) * (H - h(t))1/2
>
>
>

>
> Сравнивая выражения для вертикальной составляющей скорости в правой Wверт и левой Vвертчастях рисунка, несложно заметить тот факт,
> что если скорость вращения колеса в правой части рисунка приравнять W = H/2 * (g/R)1/2,
> то вертикальные скорости в обоих случаях будут равными в любой момент времени.
> Отсюда следует, что время спуска в обоих случаях будет равно времени поворота колеса с
> известной скоростью W на угол
> π, и будет равным t = π * ( R / g )1/2.

>

>

> В результате мы получили из этого решения сразу два важных вывода:
>

>

>
>

> Вывод 1.
>

>

> Период колебаний тела, движущегося без трения по циклоиде под действием силы тяжести, не зависит от амплитуты колебаний, и равноT = 4 * π * ( R / g )1/2
>
>

> Вывод 2.
>

>

> Образующее колесо циклоиды в процессе движения тела по циклоиде, вращается с постоянной угловой скоростью,
> а центр этого колеса движется прямолинейно и равномерно.
>
>
Вывод формулы Планка.


>
> В современной физике, с момента возникновения квантовой механики, не прекращаются споры о том месте,
> которое занимает "классическая механика" и "классические представления" в современной структуре физических знаний.
> Напомню читателям, что основным постулатом квантовой механики является постулат
> Планка о том, что энергия кванта ε
> пропорциональна его частоте - то есть ε = h * ν ,
> где h - постоянная Планка, а ν - частота фотона.

> Результат этот Планк сформулировал и получил в 1901 году в своей работе "О законе распределения энергии в нормальном спектре."

> Вот как это было сделано:
>

> Вероятно, далеко не всем читателям понятен смысл рассматриваемой проблемы, поэтому коротко поясню ее суть.
> Конфликт между классической и квантовой механикой здесь возникает по следующей причине.
> Если предположить, что фотон - это обычное физическое тело (или система тел) некоторой массы
> М, обладающее некоторыми волновыми
> свойствами движения (длиной волны, частотой и периодом колебаний и т.д.), то линейная скорость v криволинейного движения фотона по
> волне должна быть пропорциональна угловой скорости w фотона, то есть, должно быть выполнено v = w * r.


> Но кинетическую энергию тела в "классической механике" принято считать пропоциональной квадрату скорости и,
> следовательно, квадрату частоты.
> В формуле Планка, напротив, энергия фотона пропорциональна частоте (а не квадрату частоты).
> Получили противоречие.
> Из этого противоречия сразу следует, что либо фотон - "неклассическая частица" (со всеми вытекающими отсюда последствиями),
> либо закон сохранения энергии в классической механике допускает различные интерпретации, и вид этого закона зависит от интерпретации
> движения "классического тела".

>

> Чтобы решить возникшую проблему, нам вновь следует вернуться к Галилео Галилею, и внимательно рассмотреть
> историю открытия "закона сохранения механической энергии".


>
>

> История закона сохранения механической энергии.
>
>

>
> В современной физике "закон сохранения механической энергии" является самым известным, самым важным и самым фундаментальным
> из всех физических законов (и это правильно).
> Поэтому очень кратко изложу историю "закона сохранения механической энергии" и его метафизический смысл.
> "Закон сохранения механической энергии" впервые сформулировал Галилео Галилей при изучении прямолинейного
> равноускоренного движения тел по наклонной плоскости (примерно в 1600 году).
> Галилео Галилей экспериментальным путем установил, что квадрат скорости движения тела по наклонной
> плоскости пропорционален высоте, с которой скатывается тело, не зависит от массы тела и угла наклона плоскости.

> Сам Галилео Галилей очень гордился этим законом - и открытый им закон действительно был очень важным.
> Этот закон сыграл выдающуюся роль во всем дальнейшем развитии физики.
> Этим законом пользовались и продолжают пользоваться все (без исключения) физики.
> Этот закон является основным законом движения и у Ньютона, и у Бернулли, и у Эйлера, и у Лагранжа, и у всех других
> физиков вплоть до возникновения теории относительности и квантовой механики.
> Закон сохранения механической энергии продолжает оставаться самым важным законом физики и сейчас.
> Но всем нам не следует забывать, что сформулирован этот закон был лишь
> для прямолинейного движения.
> И здесь возникают физические проблемы:
> - Как будет выглядеть закон сохранения механической энергии, если движение не является прямолинейным?
> - В частности, как будет выглядеть закон сохранения механической энергии при движении тела по циклоидам Бернулли?
> - Будет ли, в этом случае, квадрат скорости тела пропорционален высоте движения, или зависимость будет несколько иной?
>
>

> Закон сохранения энергии для криволинейного движения.
>

>
> Чтобы ответить на поставленные вопросы о законе сохранения механической энергии при криволинейном движении, врнемся к решению Гюйгенса о
> таутохроне движения по циклоиде.
> Пусть у нас имеется два абсолютно одинаковых тела известной массы М,
> о которых известно, что свое движение между заданными точками пространства они осуществляют строго по брахистохронам движения (циклоидам Бернулли).
>
> Требуется найти зависимость скорости движения этих тел от высоты движения (амплитуды циклоиды).
>

>
>
>

> Решение:
>
>

> Возьмем два одинаковых тела М1 и M2, и разместим их в точках А и В известного
> нам пространства (см. рис.).
> Точка А находится на известной высоте H1, точка B находится на известной высоте высоте
> H2 < H1. На рисунке H2 = 2 * H1.

> Возьмем точку С, и разместим ее так, как показано на рисунке (в нижней точки полуветви циклоиды).

> Найдем скорости движения тела, в обоих случаях, в нижней точке C.
> Может показаться, что скорость движения тела в этой задаче можно найти из закона сохранения энергии.

> Поскольку высота H в обоих случаях нам известна, то приравнивая кинетическую энергию в нижней точке
> траектории к потенциальной энергии тел в их верхней точке, мы получим v2 = 2 * g * H. Но это - ошибка!

> Как уже было отмечено ранее, закон сохранения механической энергии был сформулирован Галилеем лишь
> для прямолинейного движения.
> В данном случае движение криволинейное, и применение закона Галилея не является правомерным.
> Следовательно, и скорость нельзя вычислять подобным образом.
> Поэтому, для решения поставленной задачи, воспользуемся доказательством Гюйгенса таутохронности циклоид.

> Это вполне правомерно, поскольку в доказательстве Гюйгенса закон сохранения энергии не используется,
> а лишь предполагается некоторое присутствие подобного закона. Не зависит и результат
> доказательства Гюйгенса от закона сохранения энергии.
> Следовательно - это правомерно.
>

> Тогда, как было доказано Гюйгенсом, время движения у обоих тел в нижнюю точку С должно быть одинаковым.

> Следовательно, одинаковыми будут и угловые скорости вращения колес в процессе всего движения.
> Следовательно, одинаковыми будут и угловые скорости вращения колес в нижней точке С.

> Следовательно, линейная скорость движения в нижней точке С будет равна - V = W * H,
> где W - постоянная величина .

> Следовательно, скорость V
> движения тела в нижней точке С
> пропорциональна высоте H, с которой
> движется тело:
>
>
V = mвращения * g * H


> (а не v2 = 2 * g * H -
> как это предполагали первоначально).
>
> Здесь mвращения - вращательная масса тела.
> В частности, для нашего рисунка скорость движения тела по большому колесу будет в два раза меньше скорости движения
> тела по малому колесу.
> И, наконец, получаем конечный результат нашего решения в виде следующего закона сохранения энергии для криволинейного движения по брахистохроне:
>
>

> Закон сохранения механической энергии для движения по брахистохроне.
>
>

>
> Поскольку высота, с которой движется тело, является мерой его потенциальной энергии, и является,
> одновременно, и мерой изменения его кинетической энергии, то изменение кинетической энергии тела, движущегося по брахистохроне,
> пропорционально линейной скорости этого движения, и равно изменению потенциальной энергии тела (или системы тел).
> Это и есть формулировка закона сохранения механической энергии для движения тел по брахистохроне.
> Поскольку для движения по циклоиде всегда выполнено условие V = W * R, то в случае одинаковой амплитуды
> колебаний циклоиды (или радиуса R образующего колеса циклоиды, или амплитуды колебаний резонатора) кинетическая энергия движения по циклоиде будет пропорциональна частоте
> вращения колеса E = C * W, где С - некоторая константа.

> Это и есть формула Планка для энергии колебаний резонатора.
> Отсюда следует, что увеличение линейной скорости движения тела по циклоиде автоматически приводит к увеличеснию угловой
> скорости движения тела.
>
>
Изохронность циклоид Бернулли
>
> Немного ранее мы уже доказали квантованность траекторий Бернулли.
>

> В предыдущем разделе мы доказали, что изменение скорости тел, движущиеся по циклоидам Бернулли,
> пропорционально изменению потенциальной энергии (формула Планка).
> Предположим теперь, что кинетическая энергия движения тела в точке А всякий раз одинакова.
> Тогда, поскольку скорость линейного движения тела по циклоидам Бернулли пропорциональна кинетической энергии,
> то скорость такого движения по любой из циклоид Бернулли (в том виде, как они изображены на рисунке), будет всякий раз одинакова,
> поскольку V = W * R, и увеличивая угловую скорость вращения в N раз
> мы во столько же раз уменьшаем радиус колеса вращения R,
> оставляя неизменной линейную скорость движения.
> Следовательно, поскольку длина всех циклод Бернулли одинакова то, при одинаковой скорости линейного движения, все тела,
> движущиеся по циклоидам Бернулли, преодолеют указанное расстояние за одно и то же время.
> Следовательно, все траектории Бернулли не только изотропны, но и изохронны между собой, то есть,
> обеспечивают одинаковое время
> движения тела из точки А в точку В.
>
>

> Метафизическое представление о движении.
>

>
> Разумеется, я далеко не все рассказал о замечательных свойствах криволинейного механического движения Бернулли.
> Но даже из сказаного можно сделать вполне определенный вывод о том, что криволинейное механическое движение Бернулли намного
> превосходит по качеству и своим результатам прямолинейное представление о движении Ньютона.
> Современная "высшая физика" уже фактически отказалась от представлений Ньютона, и перешла на рельсы "квантовой физики"
> и "теории относительности".
> В будущем этот процесс станет более полным, и переход к криволинейным представлениям Бернулли ускорит свой темп.
> Но, несмотря на все преимущества и замечательные свойства представлений Бернулли, у этих представлений
> есть один очень серьезный недостаток.
>
> Все дело в том, что представления Бернулли, как и представления Ньютона, являются "плоскими".
> То есть, любое механическое движение в этих представлениях мы обязаны рассматривать как движение в некоторой плоскости
> (в противном случае все ранее сказанное теряет смысл).
> И это условие движения содержится в постулате Ньютона, что любая сила, действующая на тело в плоскости движения не выводит
> движение из этой плоскости.
> Постулат этот далеко не очевидный.
> Более того, экспериментальные факты подтверждают ошибочность этого постулата.
> По этим причинам в метафизике движения любая сила действующая на тело, выводит тело из плоскости движения.
> То есть, подействовав на тело с некоторой силой, мы оказываемся вынуждены сообщить ему одновременно и скорость линейного движения,
> и скорость вращательного движения.
>
> В соответствие с этим, кинетическая энергия движения тела в метафизике есть величина комплексная, состоящая одновременно
> из кинетичекой энергии поступательного и вращательного движений.

> Кроме того, векторы линейной и угловой скорости свободно движущегося тела в метафизике коллинеарны
> (а не ортогональны друг другу - как это мы наблюдаем в классической механике и механике Ньютона)
> Например, для движения по плоской эллиптической траектории разложение сил в метафизике будет иметь вид, показанный на рисунке слева.
> А геометрическое место точек центров вращения такого движения будет находится на оси конуса, и будет представлять собой отрезок прямой,
> (а не астроиду - как это мы наблюдаем в классической механике и механике Ньютона на правом рисунке).

>
>

> Заключение.

>

>
> Разумеется, у каждого из физических представлений о движении есть свои достоинства, и свои недостатки.
> Я здесь постарался показать их разнообразие и индивидуальные особенности каждого из них.
> Представление Ньютона чрезвычайно простое и нагладное. Но это представление описывает чрезвычайно узкое множество движений.
> Представление Бернулли гораздо сложнее представлений Ньютона, но дает возможность легко изобразить любое движение
> в плоскости рисунка, что обеспечивает ему наглядность.
> Метафизическое представление является достаточно сложным, и в любом варианте движения требует
> трехмерности этого движения даже в случае решения сравнительно простых механических задач.
> Каждый физик вправе сам решать, каким из представлений ему лучше пользоваться при решении задач.
>
>
Ozes 10 февраля 2008 года

http://physics-animations.com/newboard/messages/72914.html