Формула Циолковского

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

где:
V — конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;
I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);
M1 — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).
M2 — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);
Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года.[1]

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:
http://upload.wikimedia.org/math/4/f/6/4f638b9195f90704cf39faf48e3b6b50.png

в котором m — масса точки;
V — скорость точки;
u — относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс I[2]
Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.
Введем обозначения:
M1i — масса заправленной i-ой ступени ракеты;
M2i — масса i-ой ступени без топлива;
Ii — удельный импульс двигателя i-ой ступени;
M0 — масса полезной нагрузки;
N — число ступеней ракеты.
Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:




Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульса и коэффициента . Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении — при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Удельный импульс
Размерность удельного импульса есть размерность скорости, в системе единиц СИ это метр в секунду.
Уде́льный и́мпульс — характеристика реактивного двигателя, равная отношению создаваемого им импульса (количества движения) к расходу (обычно массовому, но может соотноситься и, например, с весом или объёмом) топлива. Чем больше удельный импульс, тем меньше топлива надо потратить, чтобы получить определённое количество движения. Теоретически удельный импульс равен скорости истечения продуктов сгорания, фактически может от неё отличаться. Поэтому удельный импульс называют так же эффективной (или эквивалентной) скоростью истечения.
Формула приближенного расчета удельного импульса (скорости истечения) для реактивных двигателей на химическом топливе выглядит, как:

где Tk — температура газа в камере сгорания (разложения); pk и pa — давление газа соответственно в камере сгорания и на выходе из сопла; y — молекулярный вес газа в камере сгорания; u — коэффициент, характеризующий теплофизические свойства газа в камере (обычно u ≈ 15). Как видно из формулы в первом приближении, чем выше температура газа, чем меньше его молекулярная масса и чем выше соотношение давлений в камере РД к окружающему пространству, тем выше удельный импульс[2].
Удельный импульс является важным параметром двигателя, характеризующим его эффективность. Эта величина не связана напрямую с энергетической эффективностью топлива и тягой двигателя, например, ионные двигатели имеют очень небольшую тягу, но благодаря высокому удельному импульсу находят применение в качестве маневровых двигателей в космической технике.
Для воздушно-реактивных двигателей величина удельного импульса на порядок выше, чем у химических ракетных двигателей, за счёт того, что окислитель и рабочее тело поступают из окружающей среды и их расход не учитывается в формуле расчёта импульса, в которой фигурирует только массовый расход горючего. Однако, использование окружающей среды при больших скоростях движения вызывает вырождение ВРД — их удельный импульс падает с ростом скорости. Приведённое в таблице значение соответствует дозвуковым скоростям.
Приведенное значение удельного импульса для жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) соответствует показателям эффективности современных кислородно-водородных ЖРД в вакууме. Наибольшее значение, когда-либо продемонстрированное на практике, было получено с использованием трехкомпонентной схемы литий/водород/фтор и составляет 542 секунды (5 320 м/сек), но ей не было найдено практического применения по причине технологических трудностей[3][4].
Характерный удельный импульс для разных типов двигателей
Двигатель Удельный импульс

Газотурбинный реактивный двигатель 30 000м/сек 3 000сек
Твердотопливный ракетный двигатель 2 650м/сек 270сек
Жидкостный ракетный двигатель 4 600м/сек 470сек
Ионный двигатель 30 000м/сек 3 000сек
Плазменный двигатель 290 000м/сек 30 000сек

ссылка1
ссылка2